线性回归

我们在上一节房屋售价数据集的基础上，增添房间数量这一特征变量，如下图所示：

因此，特征变量$x$变为了维度为2的向量，记作$x\in R^2$，其中$x_1^{(i)}$表示数据集中第i个房屋的房屋面积，则$x_2^{(i)}$表示数据集中第i个房屋的房间数量。

对于此监督学习问题，若我们采用线性回归模型，其假设函数$h(x)$为：

$h(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2=\sum _{i=0}^m{\theta }_i{x}_i=h_{\theta }(x)$

其中，$h_{\theta }(x)$表示以$\theta$为参数。为了便于向量化，我们令$x_0=0$，则上式可改写为：

$h_{\theta }(x)={\theta }^{T}x$

从上式可知，$\theta$为未知变量。那么我们该如何根据数据集计算出$\theta$的值呢？我们不妨回想一下假设函数$h_{\theta }(x)$的定义。从上一小节可知，假设函数$h_{\theta }(x)$是我们从给定数据集中学习得到的，其输出的值与数据集中的$y$越相近越好。因此，我们可以定义如下的代价函数（Cost Function）：

$J(\theta )=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^i{)}^2$

当代价函数$J(\theta )$最小时，其参数$\theta$的值为我们所要的，从而得到了拟合训练集的最佳参数。