在数论题以及一些非数论题中，经常出现递推的情况，如果找不到规律，强行迭代递推的话不是一个明智的选择，今天我就来给大家介绍一个适用于这种情形的方法——矩阵快速幂
（一）f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项快速求法
考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据Fibonacci数列的递推关系，我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A，得到矩阵：【f[n-1],f[n]】。 即：【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】 很容易构造出这个2×2矩阵A，即： ０ １ １ １ 所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】 又因为矩阵乘法满足结合律，故有： 【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】 这个矩阵的第一个元素f[n]即为所求。（二）f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法
仿照前例，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩阵A，使得此1×3的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],1】 即：【f[n-2],f[n-1],1】* A ＝【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】 容易构造出这个3×3的矩阵A，即： ０ １ ０ １ １ ０ ０ １ １ 故：【f[1],f[2],1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】（三）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法
仿照前例，考虑1×4的矩阵【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩阵A，使得此1×4的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],n+1,1】 即：【f[n-2],f[n-1],n,1】* A = 【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】 容易构造出这个4×4的矩阵A，即： ０ １ ０ ０ １ １ ０ ０ ０ １ １ ０ ０ １ １ １ 故：【f[1],f[2],3,1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】（四）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]求法
仿照之前的思路，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我们希望通过乘以一个3×3的矩阵A，得到1×3的矩阵：【f[n-1],f[n],s[n-1]】 即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * A = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】 容易得到这个3×3的矩阵A是： ０ １ ０ １ １ １ ０ ０ １ 这种方法的矩阵规模是(r+1)*(r+1) f(1)=f(2)=s(1)=1 ，所以，有【f(1),f(2),s(1)】* A = 【f(2),f(3),s(2)】 故：【f(1),f(2),s(1)】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n)】（五）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]求法
考虑1×5的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】 我们需要找到一个5×5的矩阵A，使得它乘以A得到如下1×5的矩阵【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】 即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* A =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】 容易构造出A为： ０ １ ０ ０ ０ １ １ １ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ ０ １ １ 故：【f(1),f(2),s(1),3,1】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】（六）f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s
可以构造矩阵A为： 0 q 0 0 0 1 p 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 0 1 0 0 s 0 1 1（七）f[n]=Sigma(a[n-i]*f[n-i])+Poly(n)
其中0<i<=某常数c, Poly (n)表示n的多项式，我们依然可以构造类似的矩阵A来解决问题。 设Degree(Poly(n))=d, 并规定Poly(n)=0时，d=-1，此时对应于常系数线性齐次递推关系。则本方法求前n项和的复杂度为：((c+1)+(d+1))3*logns 例如：A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2)； 给定三个值N，X，Y求S(N):S(N) = A(0)2 +A(1)2+……+A(n)2。 解： 考虑1*4 的矩阵【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】 我们需要找到一个4×4的矩阵A，使得它乘以A得到1×4的矩阵 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】 即：【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】* A = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】= 【s[n-2]+a[n-1]^2 , x^2 * a[n-1]^2 + y^2 * a[n-2]^2 + 2*x*y*a[n-1]*a[n-2]，a[n-1]^2 , x*a[n-1]^2 + y*a[n-2]a[n-1]】 可以构造矩阵A为： 1 0 0 0 1 x^2 1 x 0 y^2 0 0 0 2xy 0 y 故：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n-1) = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】 所以：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n) = 【s[n],a[n+1]^2,a[n]^2,a[n+1]*a[n]】 若A = (B * C ) 则AT = ( B * C )T = CT * BT 故可得如下图所示的矩阵这里，矩阵快速幂，和数字的快速幂算法是一样的，只是把数字换成了矩阵而已，矩阵的乘法线性代数应该都学过，这里不再赘述，下面是我写的矩阵快速幂代码实现
const int MAXN = 15;//最大294 const int mod = 10000007; //矩阵定义 struct Matrix{ __int64 a[MAXN][MAXN]; int r;//行数 int c;//列数 }; //输出测试函数 void print(Matrix mat){ for(int i=0;i<mat.r;i++){ for(int j=0;j<mat.c;j++){ if(j) cout<<" "; cout<<mat.a[i][j]; } cout<<endl; } cout<<endl; } //矩阵初始化 void init(Matrix &mat, __int64 n){ for (int i = 0;i < mat.r;i++){ for (int j = 0;j < mat.c;j++){ mat.a[i][j] = n; } } } //矩阵乘法 Matrix mul(Matrix mat1, Matrix mat2){ Matrix res; res.c = mat2.c; res.r = mat1.r; init(res, 0); for (int i = 0;i < mat1.r;i++){ for (int j = 0;j < mat2.c;j++){ for (int k = 0;k < mat1.c;k++){ res.a[i][j] += mat1.a[i][k] * mat2.a[k][j]; res.a[i][j] %= mod; } } } return res; } //矩阵快速幂 Matrix fmp(Matrix ans,__int64 n){ Matrix base; base.c=base.r=ans.r; init(base,0); for(int i=0;i<base.r;i++){ base.a[i][i]=1; } while (n){ if (n & 1) base = mul(base, ans); ans = mul(ans, ans); n >>= 1; } return base; }