转载自：http://blog.csdn.net/luoweifu/article/details/16656737
二分查找又称折半查找，对排好序的数组，每次取这个数和数组中间的数进行比较，复杂度是O(logn)如:设数组为a[n],查找的数x,
如果x==a[n/2]，则返回n/2;
如果x < a[n/2]，则在a[0]到a[n/2-1]中进行查找；
如果x > a[n/2]，则在a[n/2+1]到a[n-1]中进行查找；
优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。
条件：查找的数组必须要为有序数组。
[cpp] view plain copy /* 归的二分查找 arrat：数组 ， low:上界； high:下界; target:查找的数据； 返回target所在数组的下标 */ int binarySearch(int array[], int low, int high, int target) { int middle = (low + high)/2; if(low > high) { return -1; } if(target == array[middle]) { return middle; } if(target < array[middle]) { return binarySearch(array, low, middle-1, target); } if(target > array[middle]) { return binarySearch(array, middle+1, high, target); } }
[cpp] view plain copy /* 非递归的二分查找 arrat：数组 ， n:数组的大小; target:查找的数据； 返回target所在数组的下标 */ int binarySearch2(int array[], int n, int target) { int low = 0, high = n, middle = 0; while(low < high) { middle = (low + high)/2; if(target == array[middle]) { return middle; } else if(target < array[middle]) { high = middle; } else if(target > array[middle]) { low = middle + 1; } } return -1; }
推荐使用非递归的方式，因为递归每次调用递归时有用堆栈保存函数数据和结果。能用循环的尽量不用递归。
还是对上一篇博文《C++如何跳出多层循环》中提到的抽签问题进行分析。
上一篇博文中是进行了四重循环的嵌套，基时间复杂度是O(n4)，数据大时其计算量会大的惊人。为便于分析，将之前代码帖至如下：
[cpp] view plain copy ** 抽签问题 解决方案，复杂度n^4 */ void drawLots() { //从标准输入读入 int numOfCard, sum; int k[MAX_N]; cout<<"输入numOfCard和sum"<<endl; cin>>numOfCard>>sum; cout<<"请输入这sum张卡片的数字"<<endl; for(int i=0; i<numOfCard; i++) { cin>>k[i]; } bool result = false; bool isBreakLoop = true; int _sum = 0; for(int a = 0; a < numOfCard && isBreakLoop; a ++) { for(int b = 0; b < numOfCard && isBreakLoop; b ++) { for(int c = 0; c < numOfCard && isBreakLoop; c++) { for(int d = 0; d < numOfCard && isBreakLoop; d ++) { _sum = k[a] + k[b] + k[c] + k[d]; if(_sum == sum) { result = true; isBreakLoop = false; } } } } } cout << "_sum:" << _sum << " " << "sum:" << sum << endl; if(result){ cout<<"Yes"<<endl; } else cout<<"No"<<endl; }
最内层循环所做事如下：
Ka + kb + kc + kd = m
移项后如下:
Kd = m - (Ka + kb + kc)
到第四层循环时，其实Ka ，kb，kc已经知道，那问题也就变成了对kd的查找，我们可用上面讲的二分查找，复杂度就降为O(n3logn).实现如下：
[cpp] view plain copy /** 抽签问题 解决方案，复杂度n^3 * log(n) */ void drawLots2() { int numOfCard, sum; int k[MAX_N]; cout<<"输入numOfCard和sum"<<endl; cin>>numOfCard>>sum; cout<<"请输入这sum张卡片的数字"<<endl; for(int i=0; i<numOfCard; i++) { cin>>k[i]; } //对数组进行排序 sort(k, k + numOfCard); int index = -1; bool isBreakLoop = true; for(int a = 0; a < numOfCard && isBreakLoop; a ++) { for(int b = 0; b < numOfCard && isBreakLoop; b ++) { for(int c = 0; c < numOfCard && isBreakLoop; c++) { index = binarySearch2(k, numOfCard, sum - (k[a] + k[b] + k[c])); if(index >= 0) { isBreakLoop = false; } } } } if(index >= 0){ cout<<"Yes"<<endl; } else cout<<"No"<<endl; }
根据上一步的优化方式，我们可以进一步对内侧两层循环(也就是第三层和第四层)进行思考：
Kc+ kd = m - (Ka + kb )
我们不能直接对Kc+ kd进行查找，但是可以预先枚举出Ka + kb 的n2种数值并排序，再对Kc+ kd进行十分查找。列出枚举O(n2)，排序O(n2logn), 循环O(n2logn)，所以总的复杂度降为O(n2logn)，实现如下：
[cpp] view plain copy /** 抽签问题 解决方案，复杂度n^2 * log(n) */ void drawLots3() { int numOfCard, sum; int k[MAX_N]; cout<<"输入numOfCard和sum"<<endl; cin>>numOfCard>>sum; cout<<"请输入这sum张卡片的数字"<<endl; for(int i=0; i<numOfCard; i++) { cin>>k[i]; } int cdNum = numOfCard*(numOfCard+1)/2; int cdSum[cdNum]; int i = 0; for(int a=0; a<numOfCard; a++) { for(int b=i; b<numOfCard; b++) { cdSum[i ++] = k[a] + k[b]; } } //对数组进行排序 sort(cdSum, cdSum + cdNum); int index = -1; bool isBreakLoop = true; for(int a = 0; a < numOfCard && isBreakLoop; a ++) { for(int b = 0; b < numOfCard && isBreakLoop; b ++) { for(int c = 0; c < numOfCard && isBreakLoop; c++) { index = binarySearch2(cdSum, cdNum, sum - (k[a] + k[b])); if(index >= 0) { isBreakLoop = false; } } } } if(index >= 0){ cout<<"Yes"<<endl; } else cout<<"No"<<endl; }
上面枚举Ka + kb 时其实是有重复的，因为k[i] + k[j] == k[j] + k[i]，去除重复值之后，Ka + kb 值的个数是n(n+1)/2。至于n(n+1)/2怎么来，可以简单推导如下：
N M
1 1
2 2+1
3 3+2+1
4 4+ 3+2+1
......
实现如下：
[cpp] view plain copy /** 抽签问题 解决方案，复杂度n^2 * log(n) */ void drawLots3_1() { int numOfCard, sum; int k[MAX_N]; cout<<"输入numOfCard和sum"<<endl; cin>>numOfCard>>sum; cout<<"请输入这sum张卡片的数字"<<endl; for(int i=0; i<numOfCard; i++) { cin>>k[i]; } int cdNum = numOfCard*numOfCard; int cdSum[cdNum]; for(int a=0; a<numOfCard; a++) { for(int b=0; b<numOfCard; b++) { cdSum[a*numOfCard + b] = k[a] + k[b]; } } //对数组进行排序 sort(cdSum, cdSum + cdNum); int index = -1; bool isBreakLoop = true; for(int a = 0; a < numOfCard && isBreakLoop; a ++) { for(int b = 0; b < numOfCard && isBreakLoop; b ++) { for(int c = 0; c < numOfCard && isBreakLoop; c++) { index = binarySearch2(cdSum, cdNum, sum - (k[a] + k[b])); if(index >= 0) { isBreakLoop = false; } } } } if(index >= 0){ cout<<"Yes"<<endl; } else cout<<"No"<<endl; }
